D'autres valeurs du cosinus et du sinus à partir des valeurs remarquables - Exemples

Exemple
Déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{7\pi}{4}\) et \(-\dfrac{2\pi}{3}\).

Méthode 1 À partir du cercle trigonométrique
On commence par placer les points \(\text{M}\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\), \(\text{N}\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\) et \(\text{P}\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\) sur le cercle trigonométrique.
Les points \(\color{blue}{\text{A}}\), \(\color{blue}{\text{B}}\) et \(\color{blue}{\text{C}}\) sont respectivement associés aux réels \(\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\), \(\color{blue}{\dfrac{\pi}{4}}\) et \(\color{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\). 

On utilise ensuite les valeurs connues du cosinus et du sinus et des arguments de symétrie.

• Les points \(\text{M}\) et \(\color{blue}{\text{A}}\) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, donc ils ont des abscisses opposées et la même ordonnée : \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et  \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =\dfrac{1}{2}\).
• Les points \(\text{N}\) et \(\color{blue}{\text{B}}\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, donc ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées : \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et  \(\sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
• Les points \(\text{P}\) et \(\color{blue}{\text{C}}\) sont symétriques par rapport à l'origine du repère, donc ils ont des abscisses opposées ainsi que des ordonnées opposées : \(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) =-\dfrac{1}{2}\) et  \(\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Méthode 2 En utilisant les relations entre cosinus et sinus des angles associés

On écrit les mesures d'angles sous la forme \(-\color{blue}{x}\), \(\pi-\color{blue}{x}\), \(\pi+\color{blue}{x}\), \(\dfrac{\pi}{2}-\color{blue}{x}\) ou \(\dfrac{\pi}{2}+\color{blue}{x}\) où \(\color{blue}{x}\) est un réel dont on connaît le cosinus et le sinus.

•  \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =\cos\left(\pi-\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\right)=-\cos\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 
  Et \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) =\sin\left(\pi-\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\right)=\sin\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{6}}\right)=\dfrac{1}{2}\) 
  
•  \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) =\cos\left(\dfrac{7\pi}{4}-2\pi\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{4}}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  Et \(\sin\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) =\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{4}}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
  
• \(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) =\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi\right)=\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\left(\pi+\color{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right)=-\cos\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right)=-\dfrac{1}{2}\)
  Et \(\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) =\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)=\sin\left(\pi+\color{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right)=-\sin\left(\color{blue}{\dfrac{\pi}{3}}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)